Coincer la bulle n'est pas toujours
une chose faisable.

...Voici un problème qui va nous mettre de nous familiariser avec la technique du calcul variationnel. Il s'agit d'un problème bien concret. On a deux cercles de même rayon, coaxiaux. On peut former entre ces deux cercles "s'ils sont suffisamment rapprochés" un film de savon. Appelons r le rayon des cercles et 2l la distance qui les sépare. O est le centre de symétrie de l'objet. La méridienne du film de savon, qui possède la géométrie de révolution est une fonction f(x) à valeurs réelles, définies sur le segment plus ou moins 1. Nous allons d'abord montrer que cette surface a nécessairement une courbure négative.

...Supposons qu'elle ait une coubure nulle (que cela soit un cylindre. L'équilibre d'un morceau, d'un élément de cette surface, défend des forces de tension superficielle. En tout point de la surface les forces sont dans le plan tangent.

...:Les forces de tension qui sont dansla direction des génératrices du cylindre (dans cet élément de surface rectangulaire) se composent deux à deux, maispas les autres, qui donnent une résultant amenant ce film, instable, à se creuser. Il ne pourrait adopter cette forme que si une pression interne était à l'oeuvre.

Même chose si le film de savon adoptait une courbure positive (image d'un tonnelet) :

...Là, toutes les forces tangentes à la paroin agissant sur le bord de cet élément, tendraient à amener ce film verts l'axe de symétrie du système. La seule façon de maintenir le film dansune telle configuration serait de créer "à l'intérieur du tonnelet" une surpression. C'est aussi le thème de la bulle de savon, où nous extrayons ci-après une calote sphérique.

...Là encore, seule une supression interne empêcherait la bulle de collapser sous l'effet des forces de tension superficielle.

...Une situation stable, en l'ansence de forces de pression, est simplement un film plan :

...Mais le fil en appui sur deux cercles coaxiaux, en l'absence de forces depression, trouvera son équilibre en adoptant une courbure négative :

...L'élément a alors l'allure d'une selle de cheval. On voit qu'on peut alors envisager une configuration où le système des forces de tension puisse avoir une résultante nulle. Il se trouve, et cela demandera à être justifiépar la suite, que cette surface-film de savon, est telle que sa "courbure moyenne" est égale à zéro. Tout dépend ce qu'on appelle courbure, et cela encore devra être précisé ultérieurement. Ci-dessus il s'agirait d'une "densité de courbure angulaire négative" au sens où nous l'avons définie.

...Mais les géomètres définissent la courbure de plusieurs façons. On peut par exemple, sur une telle surface, tracer deux cercles osculateurs, en un point, perpendiculaires. Si la surrface a été orientée; l'une des courbures, celle qui correspond au cercle dont le centre est du côté du "verso" de la surface, en supposant que cette orientation se joue (arbitrairement) dansle sens verso-recto, sera affectée d'un signe plus et l'autre d'un signe moins. En valeurs absolues ces deux courbures seront égales :

...

...La courbure représente "une certaine forme d'énergie". Une telle configuration (ou celle du plan) correspondont à une "énergie de courbure nulle" (ce qui devra être encore éclairci par la suite, de même que le fait que cette surface en diabolo correspiondent à une surface d'Aire minimale). Nous pouvons déterminer l'équation de la méridienne de cette surface d'aire minimale, en utilisant une méthode variationnelle.

..Plantons le décor :

L'aire de cette surface de révolution se calcule à l'aide d'une intégrale, l'élément étant figuré ci-après :

La dernière ligne signifie

..La fonction f est de classe C infini (elle est infiniment dérivable). Elle est définie dans l'intervalle [ - L, + L ] et prend des valeurs réelles ( elle est définie dans R ). On va maintenant perturber cette fonction f(x) en introduisant un élément

e h(x) où e <<1

On écrit :

On développe en série en ne gardant que les termes en e .

le dernier terme du second membre, du fait que h' dx = dh va se préter à une intégration par parties.

...A droite, un des deux termes s'annulle, du fait que la méridienne de la surface "film de savon", soit toujours adhérer aux deux cercles-supports. Il reste alors :

Une formule toute simple, s étant une constante d'intégration, qu'il reste à déterminer, en se plaçant aux conditions au limites.

...On constate alors ... qu'il n'y a pas toujours de solution ! Fixons par exemple r et faisons varier la distance L entre les deux cercles. Il existe une distance maximale (un rapport maximal distance sur diamètre des cercles) pour lequel il n'existe pas de surface minimale-solution.

...

...A vue de nez (j'ai tracé la courbe par ordinateur, mais jai mesuré le minimum au double décimètre) la valeur minimale du rapport r/L est proche de 1,5 , son inverse étant proche de 0,66

...Autrement dit, si on dispose de deux cercles égaux d'un diamètre f on peut les joindre avec un film de savon, si leur distance n'excède pas 0,66 fois leur diamètre. La valeur de s_o est alors proche de 1,2 ( inverse 0,83). Ci-après, l'allure des cercles en état d'écartement maximal.

...Si on écarte ces cercles de cette valeur maximale le film de savon devient instable. Je ne sais pas à dire vrai ce qui se passe. Si j'ai le temps, je ferai l'expérience dans ma baignoire. Au cas où quelqu'un aurait la réponse à cette question, qu'il nous l'envoie par mail :

sciences

jp-petit.com

   Je suis sans idée a priori. Soit le film se déchire et éclate, soit il se reforme sur les deux cercles-supports. Je ne sais pas...
...Il faut reconnaître que le film de savon se prète à des choses dont il faut savoit s'étonner. On connaît ces petits artricles que l'on vend dans les magazins de jouets. Ils comportent un cercle monté sur une hampe. Quand on trempe ceci dans le récipient contenant le savon, un film se forme. Il y a quelque chose sur le cercle, qui sert peut être à stocker une certaine quantité de savon. Puis, quand on souflle, une suite de bulles se forme, ce qui implique des réarrangements successifs du film de savon à chaque opération.

...Tant qu'on y est, faisons une petite digression sur les bulles de savon. Je sais que des profs du secondaire lisent souvent mes écrits et passent même aux actes, pour le plus grand plaisir des élèves de leurs classes. Qulle taille peut-on donner à une bulle de savon. Réponse : on peut faire des bulles de savons hénaurmes, en utilisant l'appareil ci-dessous. C'est une simple barre à béton enroulée sur elle-même et soudée, puis limée. On soude ensuite deux poignées.

C'est dans un bac circulaire, à fond plat, qu'on trempera l'appareil. Il se formera alors une membrane de savaon. Il y a ... années, nous avions manipulé un générateur de bulles de savon qui faisait 70 cm de diamètre. Evidemment, pas question de souffler dans un machin pareil, même en s'y mettant à plusieurs. Le manipulateur reculera en tenant le système par les deux poignées, le film de savon étant vertical. Sous leffet de la surpression, il va se creuser et vous verrez se former une espèce de panse dont le volume peut atteindre plusieurs centaines de litres.

...Reste à permettre à la bulle de se forme. Il est recommandé alors de faciliter la rupture de ce "cordon ombilical-film de savon" en accentuant la traction et en inclinant un peu le cercle de métal. Une bulle énorme se détache alors. Mais immédiatement elle descend et éclatera au contact du sol (à moins, peut être, de faire l'expérience dans une salle dont le sol aura été enduit lui-même d'eau savonneuse, mais où le risque de se casser une jambe devient alors non négligeable). Une meilleure solution consiste à opérer par exemple à partir d'un toît d'immeuble (avec une corde d'escalade à la taille, de préférence). On obtient alors ceci :

...Il y a une vingtaine d'années, le Musée des Sciences et des techniques, à la Vilette, n'existait pas encore. Une troupe assez importante, sous la direction d'un certain Goery Delacote, s'efforçait de dépenser le plus d'argent possible en pré-études diverses. Parmi les nombreux projets que j'avais présentés devant ces gens, il y avait une cheminée crachant des bulles de savon géantes, alimenté en air légèrement surchauffé, ce qui aurait assuré leur sustentation. Un mélange particulier, dont j'ai malheureusement oublié la composition, permettait, pour un coût dérisoire, de donner à ces bulles une durée de vie plus importante. Avouns que le ciel de Paris, peuplé de bulles de savon géantes, voilà qui aurait été du plus bel effet. je ne vois d'ailleurs pas pourquoi on n'équiperait pas tout simplement la Tour Eiffel d'un tel dispositif.

...A propos de mes insuccès répétés à la Villette, je me souviens de la phrase d'un gars qui y était employé, en cette époque qui se situait bien avant l'ouverture du Musée :

- Ton drame, mon pauvre Jean-Pierre, c'est que tu n'es pas assez cher.

...Toujours à propos de bulles de savon (jadis chère à notre ami le mathématicien Tim Poston, élève de Christopher Zeeman) un souvenir me revient en mémoire. Dans le milieu des années soixante dix j'avais fait de belles balades en Islande avec mon fils jean-Christophe, qui avait alors une dizaine d'années. Nous étions avec Maurice et Katia Kraft, vulcanologues devenus célèbres par la suite, qui poururent malheureusement, intoxiqués par les émanations d'une éruption, des années plus tard. En Islande, il y a des geysers. Mais comment cela fonctionne-t-il ? Il faut une source de chaleur. Là-bas, ça ne manque pas, en sous sol. Puis il faut une colonne d'eau. Vous savez que la température d'ébullition de l'eau croît avec la pression. C'est la raison pour laquelle il est si difficile de ses faire cuire des pâtes dans un refuge de haute montagne, car la température d'ébullition devient alors bien inférieure à 100°. A l'inverse, la température d'ébullition sous des dizaines de mètres d'eau chaude, dans notre geyser, est supérieure à 100°. Mais si le chauffage souterrain est assez intense, une bulle se formera, qui empruntera cette cheminée verticale, déclenchant le passage à l'état de vapeur de masses d'eau en état sous-critique. Finalement ce peut être une bulle de vapeut de plusieurs mètres cubes qui remonte alors rapidement vers l'air libre. Il est fréquent que les geysers débouchent dans de petites pièces d'eau peu profondes. On est alors supris par la couleur de l'eau. Elle est d'un vert assez foncé. Tout simplement parce qu'elle contient nombre de bactéries qui ne vivent qu'à haute température et dont certains pensent qu'elles pourraient représenter l'une des formes de vie les plus primitives de la planète.
...Quand le geyser expédie sa colonne de vapeur à la verticale, la chose s'effectue en deux temps. La surface liquide se soulève d'abord, et pas mal. Cinquante centimètre pour un geyser costaud, voire plus. Puis cette bulle s'ouvre par le hautet se vide alors de sa vapeur, comme une outre, en retombant sur elle-même. Pour bien voir, il faut s'approcher,mais alors n'oubliez pas de vous munir d'un ciré ou d'un parapluie.

...Il arrive que des geysers cessent de fonctionner, simplement parce que le chauffage qu'ils subissent dans leurs entrailles s'avère insuffisant. Les Kraft m'avaient montré un truc pour refaire fonctionner un geyser devenu paresseux : le liquide vaisselle. En mélangeant celui-ci à de l'eau on abaisse son point d'ébullition. La méthode consiste donc à vider tout le contenu d'une bouteille de liquide pour la vaisselle dans la cheminée d'un geyser, puis d'attendre que le liquide soit descendu au fond.

Le geyser se remet alors à fonctionner, en crachant des milliers de bulles de savon d'une dizaine de centimètres de diamètre.

...Excusez le vieux "latérologue" que je suis. Revenons à notre calcul variationnel. On remarque une chose : pour un h donné, inférieure à la valeur minimale, c'est à dire quand les cercles sont rapprochés, on trouve deux valeurs de s, donc deux surfaces solutions. Une seule seulement a une signification physique. Il faudra justifier cela par la suite. En attendant d'avoir récupéré les éclaircissement ad hoc (ce problème est un classique en matière d'enseignement du calcul variationnel) nous préférons mettre ce travail on line en l'état. Considérez-le comme le premier chapitre d'un feuilleton.
...Au passage on pourrait se demander pourquoi un cosmologiste s'intéresse soudain à des problèmes de bulles de savon. Première réponse : c'est une façon commode de familiariser un lecteur non-initié avec les concepts d'action et de lagrangien. Reprenons notre intégrale de tout à l'heure, qui donnait l'aire de la surface :

Changeons de notation, pour la dérivée :

Introduisons la fonction :

où on va désormais considérer f et " f point " comme deux quantités indépendantes. l'équation de Lagrange (qu'il nous faudra justifier plus tard):

On obtient :

ou :

...C'est à dire exactement la même équation différentielle que celle qui nous avait fourni l'équation de la méridienne de notre bulle de savon.

A SUIVRE