FLATLAND premiere partie

J'ai changé le titre de ce document. Je l'avais initialement intitulé " Le Séminaire ". Mais de nombreux lecteurs ont alors cru que ce texte correspondait au séminaire que j'aurais enfin pu donner à l'institut d'Astrophysique de Paris, suite à mes demandes. Enfin il n'en est rien. Ces gens ne m'ont tout simplement pas répondu. Les semaines, les mois passent et on peut conjecturer qu'ils ne me répondront pas. J'en suis maintenant absolument convaincu. Pas plus que l'Académicien Thibaud Damour, qui lui aussi s'était prononce négativement à propos de mes travaux, dans une réponse à un lecteur ( travaux qu'ils considérait comme "triviaux" ) mais qui tarde à fournir les arguments à la clé, que je lui ai demandés en répondant à cette requête par un silence méprisant.

Je commence de plus en plus à penser qu'ils n'ont tout simplement pas compris ces travaux et leurs idées directrices. " Il n'y a pas pire sourd que celui qui ne veut pas comprendre ". Pour un mathématicien, un géomètre, le concept de gémellité est facile à envisager, à comprendre. Un mathématicien comprendra immédiatement l'expression " revêtement à deux feuillets d'une variété ". Idem à propos des groupes dynamiques, issus de la géométrie symplectique. Je dis et je prétends que des gens comme Alalin Riazuelo et même notre académicien Thibaud Damour n'entendent rien à ces concepts, pourtant basiques en géométrie. D'où des jugements à l'emporte-pièce, totalement infondés, suivis d'un silence complet quand on lui demande d'expliciter au grand jour ces critiques.

S'il je pouvais donner des séminaires, , que cela soit à l'IAP ou à l'IHES, ceux-ci tourneraient à la déroute complète de mes détracteurs, simplement en mettant en évidence le fait qu'ils n'ont pas compris de quoi il retourne, faute de connaissances ad hoc.

Dans le texte qui suit j'ai tenté de donner une approche didactique des concepts qui sont à la base de mes travaux de géométrie, en adoptant le ton de la fiction, d'un séminaire qui se tiendrait chez les " bidimensionnels " , des habitants d'une monde où l'espace n'a que deux dimensions au lieu de trois.

La science est peut être la forme la plus élaborée de la littérature fantastique.

Le conférencier manoeuvra le segment qui permettait d'accéder au rectangle servant de salle de conférence. Les participants au séminaire prirent place.

- J'aimerais que vous m'accordiez toute votre attention. Je vais commencer par rappeler des choses qui vous paraîtront tout à fait évidentes. Nous vivons dans un espace à deux dimensions, ce qui veut dire ?

Le participant qui était au bout de la rangée, à droite, prit la parole pour répondre.

- Nous savons tous comment nous repérer dans notre habitat bidimensionnel, à l'aide de deux quantités, de deux dimensions, x et y. Nous pouvons cartographier notre univers en y faisant figurer deux familles de courbes, les unes correspondant à x constant et les autres à y constant. La position d'un point M se déduit de la donnée d'un couple de valeurs ( xM , yM ). Le point se situerait à l'intersection des courbes ( x = xM ) et ( y = yM ).

- C'est tout à fait exact. Dans notre univers se trouvent des objets, dont nous-mêmes, que nous assimilons à des ensembles de points. Nos propres corps possèdent des limites topologiques. Nos organes sont contenus dans des courbes fermées. Nous commençons, dès notre sortie de l'utérus bidimensionnel maternel à aprécier la longueur des objets en les comparant à notre corps.

- Dans notre monde bidimensionnel circulent des photons, qui se propagent selon des lignes de plus court chemin. Nos yeux sont des cercles interrompus en un point nommé pupille, ouverture par laquelle des photons, émis par un objet, peuvent pénétrer et frapper un objet en forme d'arc de cercle, la rétine. Le lieu d'impact du photon sur cet arc-rétine nous permet d'apprécier la position angulaire de la source.

- Dotés d'une vision binoculaire, nous pouvons apprécier les distances, dans une certaine mesure, grâce au phénomène de parallaxe.

- Nous faisons, dans notre monde bidimensionnel, de la géométrie. Nous savons tracer des courbes, des droites, des cercles, des triangles. Une courbe est une succession de points, comparables à des perles enfilées sur un collier.

- De quoi nous parle-t-il ? De biologie bidimensionnelle ? D'optique ? De bijouterie ? Je croyais que nous étions venus assister à un séminaire de cosmologie....

- Ne vous impatientez pas, cher collègue, j'y viens, j'y viens. Je vais maintenant exiger de vous un effort d'abstraction important. Vous savez qu'abstraction vient d'un mot qui, étymologiquement signifie "extraire", "placer hors de". Considérez tout d'abord une courbe, que nous assimilerons à une espèce inférieure. En effet, les points sur cette courbe peuvent se repérer à l'aide d'une unique quantité, l'abcisse cuirviligne. Appelons-là s . Une courbe est un sous-espace unidimensionnel de notre espace de vie, qui lui est bidimensionnel. Essayez d'imaginer une second que vous viviez sur une courbe.

- Un point est d'extension nulle. Dans notre espace bidimensionnel nous occupons une certaine aire, limitée par une peau unidimensionnelle qui est en quelque sorte notre contour, notre bord. Enlevez une dimension. L'aire sera remplacée par une longueur. L'extension spatiale d'un être bidimensionnel s'appelle une aire. L'extension spatiale d'un être unidimensionnel devient une longueur.

- Si, elle a aussi un bord, constitué par deux points. En quelque sorte la "peau" d'un être unidimensionnel est réduite à deux points.

- Envisageons maintenant la façon dont cet être se déplace. Il ne connaît que l'avant et l'arrière. Il ignore la signification des mots "droite" et "gauche".

- Ses organes de perception sont extrêmement réduits. Ils se réduisent aux deux points de son envelope. Un être unidimensionnel ne peut comprendre ce qu'est un angle. Il ne connaît que la distance à un autre objet unidimensionnel.

- Je voudrais que vous compreniez bien une chose. Cet univers unidimensionnel que nous pouvons manipuler dans notre monde 2d est contenu dans celui-ci. Je préfèrerai dire qu'il est plongé dans notre monde 2d. En possédant une dimension de plus nous allons être à même de réaliser une opération conceptuelle qui est hors de portée des êtres unidimensionnels. Observez bien maintenant ce que je vais faire. Cette courbe représente pour nous une sorte de frontière entre deux domaines : ce qui est à "droite" et ce qui est à "gauche. Je prends donc deux points. Je pose le premier sur la partie droite de la courbe et le second sur la partie gauche.

- Pour vous, oui. Notez que cette distinction est hors de portée d'un être unidimensionnel qui vivrait sur cette courbe.

- Mais des points, c'est tout petit. Et une courbe est infiniment mince. Si on les pose sur la courbe, même si on décide que les points situés à droite et les points situés à gauche ne se touchent pas, il sera bien difficile de les distinguer, non ?

- Vous avez raison. Pour ce faire il me suffit d'introduire une orientation, que les êtres vivant sur la courbe ne pourront percevoir, puisque pour eux l'univers, l'espace est unidimensionnel et qu'en dehors de cet espace-là, il n'y a rien. Je vais donc tracer une flèche allant, arbitrairement, de la gauche vers la droite. Je donnerai alors à mes points un nouvel attribut : celui d'être "droit" ou "gauche".

- Oui. Si la flèche qui leur est associée est dans le même sens que notre flèche orientée "gauche-droit on dira que ces points sont "droits". Si c'est l'inverse on dira qu'ils sont "gauches".

- Autrement dit, vous cherchez tous les moyens possibles pour créer deux ensembles de points, appartenant à des espèces différentes et vivant dans cet espace unidimensionnel.

- On peut considérer qu'ils vivent dans deux courbes, aussi minces que la précédente, et collées contre celle-ci.

- Là, j'ai représenté la courbe considérée au début. Je lui ai collé deux autre courbes, tout contre. Puis j'enlève ma première courbe. Je me retrouve alors avec deux courbes infiniment proches. j'ai représenté deux points, M et M* , dont on pourra dire qu'ils ont même abcisse s . Le les appelerai des points conjugués.

- Ils habitent sur deux courbes qui constituent le double revêtement de ma courbe.

- Exactement. C'est là que je voulais en venir. Envisager deux populations qui sont au même "lieu-dit" mais ne peuvent interagir. Physiquement cela pourrait se faire en plaçant les premiers points à droite et les second à gauche.

- Excellente question. Dans cet univers unidimensionnel la lumière suit l'unique courbe-espace. Elle ne peut aller que vers l'avant ou vers l'arrière. La seule mesure est celle de la distance. On peut imaginer une mesure de distance par réflexion. Un être unidimensionnel envoie un photon sur un autre être unidimensionnel qui est sur son chemin. Ce photon se réfléchit et de la mesure du temps écoulé lorsque ce photon est reçu on en déduit la distance. Mais imaginons maintenant qu'il y ait des photons "droits" et des photons "gauche".

- Tout à fait. Ainsi les êtres unidimensionnels constitués de points "droits" ne pourront percevoir les êtres unidimensionnels constitués de points "gauche".

- Ca ressemble à des univers parallèles, votre truc. Au lieu d'avoir une voie unique, vous envisagez deux voies de circulation.

- On peut le voir comme ça. Je peux utiliser une autre image pour illustrer ce concept, attribuer à mes points une couleur. Je prends deux populations de points qui habitent sur la courbe : des points rouges et des points bleus.

- On supposera que les objets rouges peuvent échanger des photons rouges et les objets bleus des photons bleus.

- Mais qu'un objet bleu ne pourra pas recevoir de photon rouge émis par un objet rouge.

- C'est curieux, cette affaire. Nous, les bidimensionnels, nous avons des routes à deux voies, avec une bande médiane. Nous pouvons nous croiser sans entrer en collision. Mais les unidimensionnels n'ont pas cette chance.

- Dans un monde unidimensionnel, on n'a pas le choix. On s'emplafonne à tous les coups.

- Boudi, la semaine dernière j'ai fais un refus de priorité et j'ai plié la voiture. Ma femme était furieuse.

- Vous savez pourquoi vos carosseries de voitures ne peuvent pas s'interpénétrer ?

- Ceux-ci lient les atomes très solidements. C'est pour cela que deux solides ne peuvent pas s'interpénétrer.

- Vous devez savoir que selon la théorie quantique des champs le force électromagnétique est véhiculée par des photons virtuels. Des particules qui interagissent par la force électromagnétique interagissent en échangeant des photons virtuels. La lumière est une onde électromagnétique. Les deux phénomènes présentent donc un degré de parenté. Si vous supprimez l'interaction électromagnétique, cette action a deux effets. Un, les objets qui n'interagissent plus à travers cette force peuvent se traverser. Deux, ils ne peuvent se voir. Les deux choses sont liées. Voir et toucher c'est la même chose.

- S'il existe un objet que , fondamentalement, vous ne pouvez pas voir, alors vous ne pourrez pas le toucher non plus.

- Il faut aller plus au fond de cette idée. La lumière se manifeste dans les fréquences les plus variées. Quand je dis "voir", j'entends "percevoir" , y compris avec des instruments de mesure autre que nos yeux 2d, par exemple dans l'infrarouge, dans l'ultraviolet, dans la gamme des rayons X ou dans n'importe quelle fréquence. Tous ces signaux correspondent à des ondes électromagnétiques. La différence se situe simplement au niveau de la fréquence, de la longueur d'onde. Il n'y a aucune différence de nature entre une radiation infrarouge et un rayonnement ultraviolet ou radio. Ce ne sont que des ondes électromagnétiques qui ont simplement des longueurs d'onde différentes. Quand je suggère qu'un objet échappe totalement à l'observation, j'entends qu'il serait impossible de capter la moindre onde électromagnétique qu'il émettrait.

- La longueur donde, la fréquence de l'émission dépend de la température. Si un objet était totalement non-émissif cela signifie que sa température serait strictement nulle. Or cette température nulle est une pure fiction dans notre univers.

- Entre "très froid" et "à température nulle" il y a une distinction notable. Par exemple, ce que nous considérons comme " un vide parfait " est une partie de notre espace bidimensionnel qui est empli par des photons correspondant à une "température de radiation" de 2,7 ° absolus.

- On peut concevoir des température plus basses, non ? On arrive même à les créer en laboratoire.

- Certes, mais pendant des temps limités. Rien dans l'univers actuel ne peut être à une température inférieure à 2,7 ° K. Si cet objet existait, il serait aussitôt réchauffé par "l'ambiant", par le vide qui l'environne, c'est à dire " le four cosmique ".

- Même pas. Le vide cosmique est en soi un four. Même si on faisait abstraction du "contenu", des étoiles, des objets émissifs, le vide cosmique conserverait une température qui serait au minimum de 2,7 ° K.

- Le seul mode de refroidissement de ce "vide cosmique" c'est l'effet de l'expansion cosmique. L'univers voit sa surface augmenter et la température du " four cosmique" baisse. C'est tout.

- Exact. Et le corollaire est qu'ils n'existe nulle part d'objet ayant une température strictement nulle, donc strictement non-émissifs. Ainsi tous les objets matériels émettent du rayonnement électromagnétique, même l'objet "le plus froid de l'univers", qui serait à 2,7 °K.

- Des photons correspondant à des ondes de longueur d'onde d'un demi centimètre. Autrement dit se situant dans ce que nous appelons les fréquences radio.

- Supposons qu'il y ait dans l'univers quelque chose de très très froid. Je ne sais pas, par exemple un petit nuage de gaz, d'atomes d'hydrogène neutre.

- Savez vous quelle serait la vitesse d'agitation thermique de ces atomes qui ce nuage de gaz si celui-ci était à à une température absolue de 2,7° K ?

- Et si ce gaz était composé d'atomes ayant une vitesse d'agitation thermique, je ne sais pas, d'un mètre par seconde ?

- Ce petit nuage de gaz est de toute façon environné par le rayonnement cosmologique, le fond ede rayonnement à 2,7 ° K

- Tout devient obscur, tout d'un coup. Vous voulez dire que les photons sont, dans ce que nous appelons le vide, tassés les uns contre les autres comme des grains de raison dans un pressoir, quand leurs peaux circulaires arrivent au contact.

- Vous dites ça parce que vous revenez à cette image particulaire du photon. Rappelez vous que ce sont aussi des ondes.

- Le vide bidimensionnel que vous imaginez est en fait peuplé d'un grouillement de petites ondulations.

- Bonne question. A 2,7°K la longueur d'onde des photons est de 5 millimètres.

- Bon, vous imaginez maintenant votre gaz ultra-froid, entouré par ces photons qui lui tombent dessus à 300.000 km/s. Les atomes vont absorber l'énergie des photons, qui sera convertie en énergie cinétique.

- Si un atome d'hydrogène se balade, peinard, à un mètre par seconde, une collision avec un photon du " vide cosmique environnanant "va l'accélérer ?

- Ce qui veut dire que ce gaz d'hydrogène froid verra sa température remonter à 2,7 ° K

- J'ai une première question à poser. Vous avez dit plus haut que le vide absolu était un non sens.

- C'est cette idée d'ondulation que je ne sais pas très bien. Ca ondule comment ?

- Pour bien faire il faudrait considérer que notre espace est une "surface" plongée dans une espace à trois dimensions?

- Vous voulez dire que ces ondulations de photons se situeraient dans cette dimension supplémentaire, cette ... troisième dimension ! ?

- Ce sais que cette image est dérangeante. J'y reviendrai plus loin. Pour le moment oublions-là. Ce que vous suggérez c'est qu'un puisse exister un espace parfaitement vide, exemple de la moindre oscillation.

- Les photons environnants empliraient celui-ci en un éclair en y pénétrant à 300.000 km/s

- Une autre question : ces atomes d'hydrogène froid ne pourraient-ils pas être accélérés par le photons à une vitesse plus élevée ?

- Eh non, il faudrait alors des photons ayant plus d'énergie, un "gaz de photons" plus chaud que 2,7 °K. Or tout le vide cosmique est à la même température. Il est isotherme. On l'a vérifié par les observations. Les écarts ne dépassent pas un cent millième.

- C'est étrange. J'ai déjà vu des images montrant ce fond de rayonnement cosmologique. Ca avait l'air tout grumeleux :

- C'est parce que les scientifiques accentuent artificiellement ce contraste, en traitant l'image par ordinateur. Si vous pouviez voir la plaque telle qu'elle ariive à la Nasa, vous verriez cela :

- Si, mais les gens ne remarquent pas. Ils gardent en tête l'image de ces inhomogénéités qui ne dépassent le cent millimère de la valeur moyenne. Il y a aussi que cette image est la seule sur laquelle nos modernes cosmologistes peuvent phosphorer.

- Bon. Revenons à notre gaz froid Supposons alors que celui-ci ait une température supérieure à 2,7 ° K

- Il capte, il émet. Mais sa température ne se stabilisera que quand le bilan de ces échanges deviendra nul. Alors il sera " à la température du vide ambiant "

- C'est à dire " température du gaz de photons ". Vous avez deux gaz en présence. Le premier est un gaz d'hydrogène et le second un gaz un peu bizarre, ce gaz de photons à 2,7 ° K que nous appelons "vide cosmique". Ils échangent de l'énergie et tout fait qu'ils tendent à acquérir la même température. Logique non ? C'est une forme d'équilibre thermodymalique.

- Quand je parle de totale invisibilité je parle d'objetsqui émettent des photons, que nous ne pouvons pas capter. Et cela quelle que soit la fréquence d'émission.

- Quand deux objets matériels entrent en contact, l'interaction se joue à l'aide de forces de nature émectromagnétique. Si objet était pour nous fondamentalement invisible cela signifierait que nous ne pouvons interagir avec lui par le biais d'ondes électromagnétiques. Si on se limite à l'idée d'un contact ( en laissant de côté les autres forces comme l'interaction forte ) cela voudrait dire que cet objet, nous ne pourrions pas le toucher.

- Vous voulez dire que si deux automobiles 2d arrivaient face à face, que l'une soit faite avec notre type de matière et l'autre avec seconde matière elles se passeraient au travers sans s'en apercevoir ?

Un véhicule 2d et un véhicule "gémellaire" qui se croisent dans un monde bidimensionnel sans interagir, ni se voir.

- Je voudrais maintenant vous suggérer autre chose. Pouvez-vous imaginer qu'il en soit ainsi dans notre monde bidimensionnel ?

- Vous voudriez dire que pourraient exister dans ce monde deux types de matières ?

- Oui. La première matière serait celle dont nous sommes faits, dont les éléments interagissent par le biais d'ondes électromagnétiques, ce qui par exemple dans un solide lie les particules les unes aux autres, en formant par exemple une structure cristalline.

- Oui, c'est cela. Un maillage 2d. Par ailleurs, par le biais des photons associés à cette matière, la perception est possible. Envisagez maintenant un second type de matière.

- Oui, on peut l'appeler comme ça. Elle cohabiterait avec la nôtre, sans révéler sa présence.

- J'y viens, cher collègue, j'y viens. Nous avons vu tout à l'heure qu'une courbe tracée dans notre espace ambiant, bidimensionnel, représentait un sous-espace de celui-ci, doté d'une dimension unique. Je vous suggère maintenant d'imaginer que notre monde bidimensionnel, notre monde de tous les jours, puisse ne représenter qu'un sous-espace d'un espace tridimensionnel.

- Envisagez les idées les plus folles. Une troisième dimension, pourquoi pas ?

- Partons de ce premier monde, unidimensionnel, où n'existe que ce qui est devant et ce qui est derrière. Nous avons vu qu'en adjoignant une dimension supplémentaire, donc en situant ce objet-espace dans notre propre espace bidimensionnel nous faisions apparaître les concepts de droite et de gauche. Cette courbe devient une frontière séparant deux domaines qu'on peut appeler comme on veut, droit-gauche, ou haut-bas, ou simplement A et B.

- Si nous ajoutons maintenant une dimensions supplémentaire, nous allons faire apparaître quelque chose de plus, je suppose.

- Oui, quelques chose que nous, les bidimensionnels, ne sommes à même ni de percevoir, ni même de concevoir mentalement avec nos cerveaux 2d.

- Autrement dit, en supposant que nous habitions, par exemple, sur cette "partie recto", que j'avoue avoir du mal à concevoir, la seconde matière évoluerait sur la partie "verso". Est-ce bien ça ?

- C'est extrêmement déconcertant, mais somme toute assez excitant intellectuellement. Continuez, je trouve cela amusant.

- Je vous en prie, laissons tomber la métaphysique pour le moment. C'est déjà assez compliqué comme ça. Tout à l'heure nous avions envisagé de placer de part et d'autre de notre courbe-espace unidimensionnel deux courbes parallèles, infiniment proche.

- C'est cela même. On pourrait, par analogie, envisager le double revêtement de notre propre espace bidimensionnel.

- C'est normal. Pour percevoir, appréhender cette idée de double revètement il vous faudrait évoluer dans un espace 3d. Il vous faudrait devenir un être tridimensionnel.

- J'avoue que pour nous, les bidimensionnels, c'est un peu difficile à imaginer. Impossible, même....

- Ces deux espaces bidimensionnels, constituant le double revêtement du nôtre pourraient être assimilés alors à ... notre espace et son jumeau, non ?

- On peut les appeler ainsi. Dans notre espace circulent des points de matière, des points-masses, et des photons. Dans l'espace gémellaire circulent des points-masse gémellaire et des photons gémellaires. Les premiers ne rencontrent jamais les seconds.

- Ainsi les objets de notre univers ne peuvent percevoir ceux de l'univers jumeau, et vice-versa.

- Et comme la résistance à la pénétration est liée à des échanges de photons, traduisant l'interaction électromagnétique, les objets de matière et les objets de matière gémellaire peuvent se traverser librement.

L'homme bidimensionnel qui avait fait la remarque à propos de Dieu avoua qu'il ne comprenait pas bien.

- De l'autre côté.... en fait ça n'est qu'une image didactique. l'idée consiste à dédoubler notre univers.

- Bonne question. Figurez vous que nos astrophysiciens ont bien du mal avec nos galaxies, en tant qu'ensemble de points-masse en interaction, animé d'un mouvement de rotation. Comme tout le monde le sait, nos galaxies tournent trop vite. Il y a un "effet de masse manquante".

- Il n'y a pas que cela. A très grande échelle l'univers est lacunaire. La matière s'organise autour de vastes vides, de cent millions d'années-lumière de diamètre. Certains ont tenté d'expliquer tout cela en supposant que notre univers était empli de quelques pour cent de matière, le reste étant constitué de matière sombre, à masse positive et d'énergié noire, répulsive.

- C'est compliqué et c'est ad hoc. Je crois qu'on en est à 76 % d'énergie noire, quelques pour cent de matière visible et le reste en "matière sombre froide".

- C'est vrai que c'est ad hoc, ce truc, ce mélange. Et qu'est-ce que ça donne, si on considère votre mélange de matière et de matière gémellaire qui ne se voient pas et ne se rencontrent pas non plus ?

- Eh bien, au point où on en est, pourquoi ne pas hasarder d'autres hypothèses ?

- La matière attire la matière selon la loi de Newton. J'ai supposé qu'il en était de même pour la matière gémellaire.

- J'ai supposé en outre que la matière et la matière gémellaire se repoussaient, selon "anti-Newton", selon une force répulsive, proportionnelle à l'inverse du carré de la distance qui sépare une masse de matière et une masse de matière gémellaire.

- Si on met de la matière et de la matière gémellaire en présence, elles vont se fuir et tendre, chacune de leur côté à formet des sortes de grumeaux, non ?

- Si on part d'un mélange où les deux densités sont les mêmes, oui. Ca donnera un truc dans ce genre là :

- Celle-que vous voudrez. A ce stade les deux sous-ensembles sont symétriques. Les densités et les températures sont égales.

- Il s'agit de la mesure de la vitesse moyenne d'agitation thermique. Dans notre monde 2d les vitesses ont deux composantes : Vx et Vy. L'énergie cinétique est 1/m ( Vx2 + Vy2 ). La température absolue T est la moyenne de cette grandeur, en moyennant sur tous les points-masse. Dans cette simulation on a pris des températures et des densités égales. Dans ce conditions il y a percolation. Les deux espèces se séparent. Tenez, voilà ce qu'on obtient si j'isole la première espèce :

- Vous allez voir, ce ne sont pas exactement des grumeaux. Je montre d'abord la seconde population :

- Et maintenant les deux populations en faisant figurer les frontières qui les séparent :

- Voilà maintenant ce que cela donnerait si on faisait interagor une grande quantité de points blancs et de points gris :

- Comme vous pouvez le voir cela donne un peu de tout. Parfois cela ressemble à des grumeaux, parfois à des cellules entourant un grumeau fait de point apartenant à l'autre population.

- Ca n'est pas à cela que ressemble 'univers 2d tel que nous le connaissons. A ce que j'en sais, notre matière forme de vastes cellules, avec du vide au centre.

- Il y a des gens qui expliquent bien cela, maintenant, avec de la matière sombre froide et de l'énergie noire.

- Je sais, j'ai entendu parler. Mais on a aussi le droit d'imaginer que cette structure puisse être le résultat de l'interaction de notre matière avec de la matière gémellaire.

- Et vous arrivez à obtenir la structure à grande échelle en faisant interagir de la matière et de la matière gémellaire ?

- Au moment où cette structure se forme on suppose que les deux populations ont des densités différentes, que la matière gémellaire soit la plus dense.

- Par instabilité gravitationnelle, un phénomène imaginé et décrit pour la première fois par un bidimensionnekl anhalis, Sir James Jeans. Je vous expliquerai cela plus en détail un autre fois. Là, croyez moi sur parole. Tout milieu dont la structure est régi par des forces de gravité attractives est instable. Des grumeaux tendant à apparaître au bout d'un temps carafctéristique, qu'on sait calcule et qu'on appelle le temps de Jeans. Celui-ci ne dépend que de la densoté du milieu. Plus c'est dense et plus les grumeaux se forment vite.

- Donc, si la matière gémellaire est plus dense, c'est elle qui donnera la première naissance à des grumeaux ?

- Non. L es conglomérats de matière gémellaire sont très répulsifs. Ils chassent alors la matière, la nôtre, dans l'espace résiduel où elle constitue une structure cellulaire, analogue à un maillage.

- En quelque sorte. Tenez, je vous montre les images obtenues. D'abord les deux population ensemble, qu'on ne peut évidemment pas voir :

- Si je reviens à l'image précédente, elle est censée représenter ce que verraient des bidimensionnels habitant l'univers jumeau.

- Non. Ces conglomérats contiennent trop de matière. On peut les assimiler à de gigantesques proto-étoiles. Vous savez que pour que celles-ci puissent s'allumer il leur faut d'abord pouvoir se contracter. Et pour ce faire il leur faut pouvoir se refroidir. La seule façon qu'elles aient à leur disposition est de rayonner des photons à travers leur cercle-envelope. C'est ainsi que les étoiles se forment, dans notre monde bidimensionnel. Au départ ces proto-étoiles ont des tailles comparables au système solaire.

- Pas si on raisonne en quantité d'énergie émise. Actuellement la température le long du cercle envelope de notre soleil 2d dépasse les 6000°. A cette température il émet dans la lumière visible. Mais le périmètre est plus petit. Quand il était à l'état de proto-étoile le soleil émettait plus d'énergie sous forme de rayonnement, même si c'était de l'infrarouge, parce la frontière émissive, le périmètre était plus grand. .

- Du phénomène de contraction. C'est comme ça que ça se passe au début. Plus la proto-étoile perd de l'énergie en rayonnant et plus elle se contracte. Il arrive un moment, quand la température au centre du disque 2d atteint 700.000° où les réactions de fusion thermonucléaires démarrent et prennent le relai. Actuellement le soleil est en régime de croisière pour un paquet de temps et la températuire au centre du disque est de 15 à 20 millions de degrés.

- Alors les photons émis à coeur parviennent à traverse le disque et à s'achapper dans le vide 2d.

- Non, ils sont immédiatement réabsorbés par d'autres atomes proches, qui réemettent à leur tourd'autres photons. Etc jusqu'à ce qu'on arrive au cercle-frontière extérieur. Les photons émis peuvent alors filer sans rencontrer d'obstacle.

- Revenons à vos conglomérats de matière gémellaire que vous assimilez à de gigantesques proto-étoiles. Que leur arrive-t-il ?

- Parce que la quantité d'énergie transformée en chaleur varie comme l'aire du disque 2d, comme le carré du rayon, alors que le périmètre du cercle émissif vaie comme R.

- Tout à fait. Il y a une certaine quantité de chaleur à évacuer, pour que l'objet puisse se contracter et que démarrent au centre des réactions de fusion, à 700.000°. Mais qui peut le plus peut le moins. Dans ces conglomérats la quantité de chaleur à évacuer est énorme, et le "radiateur" ne suit pas. Chez les bidimensionnels anglais on appelle le temps d'allumage le " cooling time ", le temps de refroidissement. Et dans le cas des conglomérats ce temps excède l'âge de l'univers.

- Alors ces conglomérats sont comme de gigantesques proto-étoiles qui ne s'allumeront jamais.

- Certes, disons " ne s'allumeront pas à l'échelle de temps correspondant à notre civilisation de bidimensionnels terriens.

- Non. Pas de supernovae non plus. Donc pas d'atomes plus lourds que l'hydrogène et l'hélium "gémellaires".

Les bidimensionnels agitèrent leurs têtes de droite à gauche en signe d'approbation.

- Ainsi ces conglomérats émettent des photons qui correspondent au rouge et à l'infrarouge.

- Autrement dit, si des bidimensionnels habitent dans le jumeau, ils doivent apercevoir des sortes de braises bidimensionnelles rougeoyantes.

- Revenons au fil de votre exposé. Avec cette idée, vous parvenez à expliquer le pourquoi de la structure à grande échelle de notre univers.

- Il reste une question : pourquoi cette dissimétrie dans les densités dans votre modèle ?

Après une interruption où les bidimensionnels allèrent se dégourdir les jambes en dehors du carré, la séance reprit. Un vieux bidimensionnel prit la parole.

- Ca n'est pas que cette nouvelle vision de l'évolution de notre monde 2d ne m'intéresse pas. Je trouve au contraire qu'elle ouvre des perspectives intéressantes. Ce qui m'a fortement intrigué, tout à l'heure c'est quand vous avez évoqué cette ... troisième dimension. Je voudrais revenir sur cette question. Dans notre monde bidimensionnel nous communiquons à l'aide d'onde sonores. Les signaux que nous recevons sont unidimensionnels. Ce sont des ondes de pression variant dans le temps. Quand nous avons commencé à utiliser les signaux radio-électriques il nous a été possible de coder notre alphabet, inventé par le génial Morse. Lorsque nos lointains ancètres ont inventé l'écriture ils présentèrent ces caractères sur des écrans unidimensionnels, sous forme d'une succession de points et de traits. Nos enfants bidimensionnels ânonent dans nos écoles l'alphabet, mais ils savent aussi écrire sur leurs ardoises unidimensionnelles ses vingt-six lettres :

Les chiffres, en Morse. En gaut, le 1, puis 2, 3, 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9. et enfin lee zéro.

- Tout à fait. Cette géniale invention de l'écriture a permis une large diffusion de notre culture, grâce aux livres, successions de messages consignés sur des segments unidimensionnels, bordés par des points. En voyant votre évocation de cet hypothétique monde ... tridimensionnel, que j'avoue avoir du mal à imaginer...

- Mais j'imagine que vos longues études vous permettent d'y évoluer avec aisance, je suppose.

- Uniquement grâce au formalisme, mon cher collègue, uniquement grâce au formalisme. Du côté des images mentales, je ne suis guère mieux loti que vous : mes pieds restent collés à la glèbe unidimensionnelle.

- Ah bon, ça me rassure. Je reprends. Nous disposons donc de ces caractères qu'on peut placer sur les lignes d'un livre, bordées par deux points. On peut ensuite rassembler ces lignes pour en faire un ouvrage. Je suis en train là de vous décrire l'épopée de Gutemberg.

- Voilà, je me demandais, dans ce mode 3d que vous évoquez si l'écriture elle-même ne pourrait pas revêtir une ... forme différente.

- Alors les livres ne seraient plus faits de lignes, mais d'ensembles de lignes, disposées .. à l'intérieur d'un rectangle.

- Oui, l'élément 2d d'un livre, dans un espace 2d est une ce que je choisis d'appeler page.

- Tout cela est très étonnant. Je me demandais si ces gens habitant un tel espace tridimensionnel ne posséderaient pas des structures mentales différentes des nôtres. Peut être plus riches.

- Je ne peux pas affirmer qu'ils seraient plus intelligents que nous, mais ils auraient des archétypes mentaux différents.

- Prenez par exemple la formee R majuscule. Et son symétrique par rapport à une droite de notre monde bidimensionnel.

- Pour nous, bidimensionnels, oui, mais pas pour un tridimensionnel, qui pourrait " plonger " cette forme 2d dans son monde 3d et la faire tourner sur elle-même.

- On verrait donc cette forme R se transformer continûment en forme ia. Mais quelle serait la "forme médiane" ?

- Quelque chose qui ne serait ni droite, ni gauche, qui serait invariant en en prenant le symétrique par rapport à une droite. C'est à dire un segment.

- C'est assez stupéfiant. Cela rappelle le mythe de notre grand philosophe Platon, son mythe de la boite. Il suggère que les hommes vivraient dans une boite et ne pourraient observer que des ombres, des projections de choses qui se dérouleraient dans un univers qui leur échapperait totalement. Selon ce que vous évoquez, cette transformation du R en " ia " en passant par un simple segment vertical ne serait que la projection d'une sorte de rotation qui s'opérerait dans un univers 3d.

Le conférencier s'estima encouragé à aller plus loin. L'intérêt des bidimensionnels avait de toute façon été émoustillé par cette idée d'une rotation qui s'opérerait en dehors de leur propre monde.

- Je vais vous donner un autre exemple. Envisageons maintenant un espace à quatre dimensions.

- Dans notre monde 2d nous ne pouvons envisager de combinaisons de translations et de rotations qui puissent transformer une forme R en forme " ia ". Seule une symétrie nous permettrait d'y parvenir, mais nous supposons que nous nous interdisons les symétries en les considérant comme hors du champ de la physique. J'ai trouvé l'équivalent dans un espace 3d : deux formes qui ne peuvent pas être transformées l'une dans l'autre et vice versa par des translations et des rotations, dans cet espace-là, bien sûr. Seule une symétrie dans cet espace 2d, qui s'opérerait alors par rapport à un sous-espace 2d, que j'appelle un "plan" pourrait permettre cela. Mais nous nous interdisons ces symétries. J'ai décidé d'appeler ces formes :

- On peut alors considérer ces deux formes 3d comme des projections d'un objet situé dans un monde quadridimensionnel., dans lequel on pourrait opérer aussi une " rotation extra-dimensionnelle ".

Les bidimensionnels étaient visiblement largués, mais l'un deux hasarda une question :

- Admettons. Nous ne pouvons pas concevoir ces objets que vous nommez " tire-bouchons " et nous ne sommes pas non plus équipés mentalement pour comprendre pourquoi il y en aurait des "droits" et pourquoi il y en aurait des "gauches". J'essaye de vous suivre en pratiquant l'analogie. Vous avez évoqué le fait que la transormation d'un R en "ia" pourrait n'être que la projection, dans notre monde 2d de la rotation d'une forme habitant un espace 3d, subissant "une rotation extradimensionnelle", telle que la situation intermédiaire serait un segment.

- Vous nous dites que la transformation d'un tire-bouche " droit " en tire bouchon " gauche ", en continu, serait alors assimilée à la vision de la projection 3d d'une rotation s'opérant dans un espace 4d. Mais alors, quelle serait la configuration médiane de cette transformation, " l'objet médian " ?

- Un tire-bouchon qui ne serait ni droit, ni gauche. J'ai appelé cela un poinçon.

Transformation d'un tire-bouchon droit en tire-bouchon gauche par rotation dans un espace 4d.

- Je résume. Si un jour vous habitez dans un univers 3d et que vous assistiez à la transformation continue d'un tire-bouchon droit en tire-bouchon gauche et que la configuration médiane soit celle d'un "poinçon", alors cela signifierait que vous seriez témoin de la projection d'une scène représentant la rotation d'un objet 4d dans un univers également quadridimensionnel. En règle générale, des objets que des gens percevraient dans un univers à n dimensions, et qu'ils considéreraient comme différents, pourraient correspondre à différentes apparences d'un même objet, "habitant" dans un espace de dimension supérieure et subissant une rotation "extra-spatiale", c'est à dire le long d'une dimension supplémentaire, d'un axe "orthogonal" aux autres dimensions. .

On décida de faire un break et de procéder à une distribution général d'aspirine.

Le bidimensionnel qui avait tant protesté au début parce que le séminaire ne semblait pas être consacré à la géométrie en avait pris pour son grade. Un de ses voisins le lui fit remarquer :

- Au moins, là, vous avez du être content. Non seulement on a eu droit à trois dimensions, mais on a même fait une rapide incursion dans une dimension de plus, pour le même prix.

- Moi j'ai bien aimé l'interprétation de la structure à grande échelle de l'univers. Je ne sais pas si c'est réellement l'explication, mais au moins j'ai l'impression de comprendre quelque chose. Les branes, je n'y comprends rien.

- C'est l'académicien Thibaud Damour qui dit que l'univers est né d'une collision de branes.

- C'est un truc des types des supercordes. Ils disent qu'un espace à deux dimensions est une membrane, une 2-brane. Une courbe, pour eux, c'est une 1-brane et un point une zéro-brane.

- Rien. Damour dit que sa théorie n'est "pas tout à fait mûre" et que c'est pour cela qu'elle n'explique rien. Parce que c'est trop tôt.

- C'est trop tôt pour que ça explique quelque chose. Faut attendre. Mais il paraît que le jour où ça expliquera quelque chose, ça expliquera tout.

- Entre autre. Ils disent ça. Ils parlent de TOE, de " Theory of Everything ", de " Théorie de Tout ".

- Mais en attendant c'est la Théorie de Rien, la TON, la " Theory of Nothing ".

- Damour dit que l'univers est né d'une collision de branes et que ça a donné des supercordes qui se sont enroulées en claquant comme des fouets.

- Oui, mais il est académicien et enseigne à l'Institut des Hautes Etuders de Bures sur Yvette.

- Et son pote Veneziano, qui a été nommé prof au Collège de France en 2005, il enseigne quoi ?

- C'est un machin grand comme l'univers, mais vachement mince. tellement que tu ne peux pas la voir. Et il y a un quark à chaque bout, ou quelque chose comme ça.

- Mais à ce que j'ai entendu dire il y a trente ans que ces gens bossent là-dessus. Et ils ne savent toujours pas ce qu'ils cherchent ?

- Non, mais ils disent que c'est tellement énorme, que c'est un projet tellement ambitieux, où il y a des millions de théories possibles, que c'est trop trop pour qu'ils sachent ce qu'ils cherchent exactement.

- Ils ont des revues où ils publient à tour de bras en s'entre-citant. Ils voyagent, vont dans des congrès, rédigent ou dirigent des thèses.

L'exposé avait suscité pas mal de commentaires et d'intérêt chez les bidimensionnels,le conférencier ayant paru moins imbitable que les précédents. A la séance suivante on dû opter pour un carré plus grand, dans lequel les participants s'entassèrent tant bien que mal. Dans la salle se trouvaient maintenant surtout des étudiants en science, des universitaires. D'autre, à qui l'aspirine n'avait pas suffi, suite à la fin de la première séance qu'ils avaient très mal vécu avaient préféré écouter l'exposé suivant chez eux, à la radio, à proximité d'un segment sur lequel ils pourraient s'allonger, en cas d'urgence. On ne saurait les en blamer. Le tridimensionnel brut, sans préparation, c'est pas de la tarte. Et finir avec du 4d, c'était très hard, pour une première fois. On ne pouvait pas non plus en vouloir au conférencier. celui-ci faisait son travail, somme toute. Un travail consistant à pousser les encéphales de bidimensionnels en chauffe, progressivement, le but étant de réussir à leur faire opérer un saut paradigmatique essentiel.

Quand il ouvrit la séances les bidimensionnels s'étaient munis d'une pile de segments sur lesquels ils entendaient bien prendre des notes, en Morse. Un vieux 2d, au premier rang agita la main en réclamant la parole.

- Monsieur le conférencier, j'ai bien suivi votre exposé de la dernière fois, en dépit d'aspects si ardus que j'ai du, en rentrant chez moi, prendre immédiatement un bain très chaud pour récupérer. Vous semblez donc très doué pour nous emmener évoluer dans des dimensions supplémentaires. J'aimerais vous poser une question. On entend parler depuis longtemps " de la troisième dimension ". Certains disent qu'il s'agirait du temps Pourriez-vous nous éclairer sur ce point ?

- Jusqu'en 1905 tous les bidimensionnels étaient persuadés de vivre dans un espace à deux dimensions, sur lequel serait venu se greffer une troisième dimension, indépendante : la dimension de temps.

- Une dimension de temps qui aurait été ... perpendiculaire aux dimensions d'espace ?

- C'est une façon de dire les choses. Pour être plus précis les bidimensionnels pensaient que l'espace et le temps étaient d'essences différentes.

- Qu'on ne pouvait pas mesure un temps avec un mètre à ruban, ni une longueur avec un chronomètre.

- C'est ça. Mais en 1905 un grand bidimensionnel, Albert Einstein, a montré qu'il était non seulement préférable mais parfaitement indispensable de lier les deux dimensions d'espace et la dimension de temps ens une seule et même entité, qu'il appela espace-temps. Ses dimensions ( t , x , y ) cessèrent dès lors d'être indépendantes.

- C'est ce que nous aimerions que vous expliquiez aujourd'hui. Si je comprends bien, il a réussi de ce fait à mesurer le temps avec un mètre à ruban ? Ou les longueurs avec une montre à gousset ?

- Peu importe l'unité de mesure choisie, des mètres ou des secondes, mais c'est exactement ça. Une façon de vous amener vers ces horizons est d'enlever une dimension d'espace et de considérer un espace temps bidimensionnel ( t , x ). Nous allons faire comme des géographes de la physique qui, disposant d'une salle 2d, notre espace, vont en profiter pour y installer une carte, spatio-temporelle cette fois, pour essayer de se repérer. Finalement, ça n'est pas si dramatique d'amputer notre monde d'une de ses dimensions d'espace y. Cela laisse la place d'y installer la dimension de temps t. Appelons chaque point de cet espace-temps un "point-évènement".

- Qu'est-ce que c'est qu'un évènement ? Ca se définit par un lieu et une date, donc par un couple de valeurs ( t , x ). C'est donc un point de l'espace temps. Réciproquement, nous dirons qu'un point de l'espace temps est un évènement et nous emploierons le mot de " point évènement ".

Les bidimensionnels approuvèrent en silence en agitant la tête de droite et de gauche. L'un d'eux décida d'inscrire dans l'espace un quadrillage constitué par deux famille de lignes parallèles équidistantes. On décida que les unes représenteraient des évènements à t constant, survenant " au même moment " et les autres des évènements s'achnaînant au même endroit, selon un ordre chronologique. Le conférencier proposa d'appeler ces lignes-là des lignes d'univers.

Un des bidimensionnels fit remarquer que si l'orientation du temps, fixant un sens pass-futur, semblait nécessaire pour donner un minimum de sens à cet espace-temps, l'orientation de l'espace, elle, apparaîssait totalement arbitraire. En effet, en limitant l'espace à une unique dimension, les seules choses qui restaient étaient les adverbes " devant " et " derrière " . On pouvait les permuter sans changer grand chose, en fait. Celui qui avait inscrit de graphique approuva et fit disparaître l'orientation de l'espace.

- Supposons que je trace une ligne quelconque sur ce diagramme espace-temps. Cela deviendra une trajectoire. En supposant qu'il soit a priori impossible de remonter le temps, l'orientation de ces trajectoires semblera tomber sous le sens.

- La pente de ces droite figure la vitesse. Tant de mètres pendant tant de secondes. Cette ancienne représentation de l'espace-temps, avec deux variables supposées totalement indépendantes laissait à des objets la possibilité de se mouvoir à n'importe quelle vitesse, jusqu'à une vitesse infinie.On peut toujours choisir les unités du graphique pour que la vitesse de la lumière corresponde à une pente de 45°.

- Exact. Mais, dans la réalité, ce cône doit s'inscrire dans un espace 3d , c'est à dire ( t , x , y ).

- Ce fameux espace tridimensionnel, qu'aucun d'entre nous n'est capable de se représenter : avec deux dimensions d'espace, plus cette mystérieuse troisième dimension, le temps.

- Tout à fait. Il est plus facile d'avoir sous les yeux ce secteur angulaire 2d, que nous continuerons à appeler "cone". A l'intérieur de ce cone les trajectoires correspondent à des vitesses sub-luminiques. Si on persiste à conserver ce mode de représentation, alors les lignes qui sont à l'intérieur du secteur, évoquant le "cone de lumière" correspondent à des déplacements à une vitesse subluminique, des déplacements de bradyons.

Une trajectoire extérieure au secteur "cone de lumière" correspondant à un déplacement s'opérant à une vitesse supérieure à celle de la lumière, c'est de tachyons. J'anticipe sur la question : tachys veut dire rapide, en Grec.

- Je représente ci-après un déplacement à vitesse infinie. En fait, pas de déplacement du temps. Si je figure deux points évènement sur cette ligne, ils sont ... simultanés

Le jeune bidimensionnel qui venait d'intervenir se fit rabrouer par ses voisins :

- C'est là qu'intervient l'expérience faite par Michelson et Morley. Représentons-nous le cercle terrestre, qui est une sphère S1, à une dimension.

- Voulez-vous dire qu'il existerait des sphères possédant plus d'une dimension !?! par exemple des ... sphères S2 !?

- Oui, bien que nous n'ayons pas, nous les bidimensionnels, la capacité de nous représenter mentalement cet objet, puisque notre monde mental est totalement organisé autour d'une représentation spatiale en 2d. Pour comprendre ce que peut être une sphère 3d il faudrait pouvoir se situer dans un univers tridimensionnel, ce que nous sommes mentalement incapables de concevoir.

- Mais alors, une sphère S2 serait comme le cercle, notre sphère S1, fermée sur elle-même....

- Parfaitement. Ce serait un espace fini. Les mathématiciens disent " compact ", doté de tas de propriétés qui vous déconcerteraient grandement. Quand nous voulons nous repérer sur un cercle, une sphère S1, il nous faut une seule quantité. Appelons-là q . A priori, aucun point n'est singulier sur cette sphère S1.

- Pour nous repérer sur une sphère S2 il faudra deux quantités. Appelons-les q et j .

- On montre, en mathématiques, qu'il est impossible de cartographier une telle sphère S2 sans qu'il y ait singularité de maillage.

- Que cette carte ne pourra pas être constituée uniquement de quadilatères adjacents. A un môment, autour de pôles, il faudra utiliser des triangles.

- Je ne peux pas vous montrer une sphère S2 car pour le faire il nous faudrait nous transporter dans un espace tridimensionnel. Mais je peux faire figurer la projection de cet objet 3d dans notre monde 2d.

- C'est impressionnant d'avoir l'impression de voir un objet tridimensionnel, à travers sa représentation 2d.

- Le tout est d'arriver à le "lire" mentalement. Vous voyez un des deux pôles, et les triangles évoqués tout à l'heure. Ce que je veux dire c'est que ces triangles, qui concrétisent cette idée de singularité de maillage sont inévitables.

- Je peux vous dire également qu'il existe des sphères S3, S4, etc... qui sont toutes "compactes", fermées sur elles mêmes. Un sphère S3 ne sera plus maillée, mais pavée.

- On construit une sphère S1 en juxtaposant des segments liés par des points. Elle est " segmentable". . On contruit une sphère S2 en juxtaposant des rectangles, qui sont des objets 2d, réunis le long de segments, objets unidimensionnels. Pour construire une sphère S3 on juxtaposera ce que j'appèlerai des polyèdres, des objets " à plusieurs faces ", bien que ce mot face, dérivé du mot Grec edra, n'ait guère de sens pour nous. Ces faces sont bidimensionnelles. On appele alors les éléments adjactents qui permettent de construire une sphère S3 des pavés, équivalent 3d des rectangles et on montre qu'un peut paver une sphère S3 à l'aide d'un pavage régulier 3d, sans avoir besoin de singularités de pavages. Par contre, pour une sphère S4 ....

- Y a-t-il des objets 2d, dans cet étrange monde tridimensionnel que vous évoquez, qui pourraient être ... cartographiés sans singularités de maillage ?

- Mais, mais ceci nous détourne quelque peu de notre sujet initial, qui était l'espace-temps. Ceci dit, nous y reviendront, car nous ne devons pas avoir da priori sur la topologie de notre propre univers, ni sur sa partie spatiale, ni dans son extension spatio-temporelle. J'en reviens à cette expérience de Michelson et Morley. Notre Terre-cercle, notre sphère S1 se déplace dans l'espace en tournant sur elle-même. Elle se déplace autour du Soleil, lequel se meut dans notre galaxie, à 200 km/s, laquelle....

- Eh bien justement, on tombe sur la définition de la vitesse. Se déplacer, c'est bien joli, mais par rapport à quoi ? C'etait la question que s'étaient posée Michelson et Morley qui reposait sur l'existence d'un contenant absolu, inventé par Newton ( avec sa célèbre expérience de la pinte, voir l'album Cosmic Story dans le site http://www.savoir-sans-frontieres.com ), contenant auquel on avait donné le nom d'éther. Michelson et Morley voulaient savoir quelle était la vitesse de déplacement de la Terre, non dans le système solaire, nons dans la galaxie, mais par rapport à l'éther, au contenant universel. On savait mesurer le temps de propagation d'un rayon lumineux en utilisant un astucieux système de miroirs tournants. Ce dispositif permettait de mesurer des durées avec une précision très simportante, de l'ordre du centième de millionnième de seconde, ou du milliardième de seconde. Ces deux chercheurs avaient donc imaginé de faire deux expériences, l'une où le temps de propagation était effectué en accompagnant la Terre dans son mouvement de rotation et l'autre dans le sens inverse.

Expérience de Michelson-Morlay. Deux mesures du temps de propagation de la lumière, en accompagnant le mouvement de rotation de la terre ou à contrario

- On savait que la lumière se propageait dans le vide, qu'on assimilait alors à l'éther. Entre le point d'émission du rayon et le point de sa réception la lumière devait cheminer dans cet éther. Si la Terre était en mouvement par rapport à celui-ci, les deux temps devaient être différents. En raisonnant en prenant le laboratoire comme référentiel, celui-ci devaitbaigner dans un certain flux d'éther, déboulant à une vitesse V, et c'est cette vitesse que Michelson et Morley voulaient mesurer. Je donne une analogie. Imaginez que vous voyagiez dans un train, qui roule sur une voie unidimensionnelle à la vitesse V

Vous êtes deux. L'un a un pistolet avec lequel il émet un signal sonore. L'autre reçoit ce signal est est en était de mesure son temps de propagation. Le train roule à bonne vitesse. Il se déplace dans l'air et c'est dans cet air, qui figure notre éther, que le signal sonore va se propager. Si deux passagers sont équipés de sortes de scaphandres qui les rendent incapable de percevoir le sens du vent et qu'il se livrent à cette expérience " émission-réception d'un signal sonore", le temps de propagation sera plus long si l'onde se propage dans le sens où le train roule, car "elle devra remonter le courant .. d'air". Ce temps sera plus court dans la direction opposée. Si ces passagers font cette expérience, non seulement ils sauront dans quel sens le train roule, mais ils mesureront aussi sa vitesse.

- Quand Michelson et Morley ont fait et refait maintes fois cette expérience ils ont eu l'énorme surprise de trouver exactement la même valeur dans toutes les directions. Non seulement il n'y avait pas l'écart qu'on aurait du mesurer, lié à la rotation de la Terre, mais cela signifiait subsidiairement que la Terre aurait du être é immobile par rapport à l'ensemble de l'éther cosmique.

- Oui : que le Soleil e lui tournait autour, de même que la galaxie, etc.... Tout ceci était totalement absurde. Il fallait donc envisager une mesure épistémologique d'urgence, la plus extrême.

- Un changement de paradigme, une révision complète de notre façon de concevoir l'univers. Et c'est ça le sens profond de la théorie de la Relativité Restreinte, que peu de gens perçoivent. Il faut recontruire l'univers de telles façon qu'il soit géométriquement impossible de se déplacer à la vitesse de lumière, par exemple. Cela ne signifie pas de placer dans toutes les allées du cosmos des pancartes "vitesse limiètée à 300.000 km/s". Cela signifie qu'il faut changer le cosmos, changer de géométrie. Or personne ne le fait, en fait. Nous continuons notre petite vite de tous les jours en conservant notre tête l'ancienne géométrie, celle que j'ai montré plus haut, avec le cone de lumière. Alors qu'en fait il n'y a pas de place, dans cette nouvelle vision géométrique pour un tel cone, qui n'existe simplement pas.

- Vous croyez qu'on change de géométrie comme de chemise. Ca n'est pas si simple et je vais vous expliquer pourquoi. D'abord, d'où vient le mot géométrie ? Geos, ça veut dire la Terre et metron est un verbe qui signifie " je mesure ". Dans géométrie on trouve le mot mesurer. Et comment mesure-t-on ?

- Vous tournez en rond. Revenons à votre espace bidimensionnel ( x , y ). Chaque couple se réfère à un point de cet espace.

Nous pouvons prendre deux points M₁ et M₁, de coordonnées ( x₁, y₁) et ( x₂,y₂). Posons :

- Que faites-vous quand vous calculez ainsi une longueur, une distance séparant deux points ? Vous partez des valeurs numérique des quantités que vous avez définies pour évaluer les coordonnées de deux points.

- Pas nécessairement. Je vous donne un exemple. Nous habitons sur le cercle terrestre. Une sphère S1 dont le rayon vaut R. Quelle coordonnée utilisez vous pour vous repérer sur le cercle terrestre ?

- Donc c'est un angle. Appelons le j. On peut l'évaluer et degrés, de zéro à 360 ou parlerde secteurs horaires, de 0 à 24. Deux points présenterons un écart angulaire D j. On évaluera leurdistance en écrivant :

et cela vous donne une longueur parcourue, une variation d'abcisse curviligne Ds.

- Dans ce cas, oui. Je vais maintenant vous demander un effort intellectuel supplémentaire, qui nous sera fort utile quand on voudra parlerde Relativité Générale, d'espaces courbes.

- Reprenons cette projection 2d de la sphère S2, que nous avions évoquée tout à l'heure.

- Sur cette sphère S2 la position des points peut être repérée à l'aide de deux grandeurs. Comme cette affaire est périodique il semble que des angles ( j , q ) représentent un bon choix.

- En effet. Disposons-les comme ceci. Je sais que pour un bidimensionnel c'est difficile de concevoir l'objet lui-même. C'est même impossible, à moins d'habiter dans un espace 3d. Un tridimensionnel qui regarderait cela arriverait, lui, à s'y retrouver sans problème.

- Pour nous ce ne sont que des conventions graphiques. Imaginons maintenant un déplacement surcette sphère S2, d'amplitude ( Dj , Dq ) .

- Nous allons appliquer deux fois le théorème de Pythagore pour calculer la distance parcourue. J'expliquerai plus loin pourquoi je me donne le droit cette fois d'utiliser la formule Pythagoricienne. Et j'obtiens la formule ci-après :

- Je vois qu'il y a suffisammentd'étudiants en science dans la salle pour pouvoir passer sans dommage des accroissements comme Ds aux différentielles comme ds , qui sont des accroissements tous petits. J'écris donc ;

- Vous voyez qu'en m'étant donné une déplacement élémentaire je me suis donné la possibilité de calculer la longueur du traject élémentaire parcouru à l'aide d'une formule du type :

- Je décide que cette expression qui me permet de calculer la longueurd'un trajet sur la sphère S2 représentera sa métrique. Dans ce cas précis on a :

Au sein de l'assemblée des bidimensionnels le silence était total. On aurait entendu une mouche marcher.

- Vous remarquez que dans cette expression on trouve deux carrés précédés d'un signe plus. Eh bien, théorème : vous pourrez opérer tous les changements de variables que vous voudrez en débouchant sur deux carrés, vous ne pourrez pas changer ces signes, à conditions bien entendu que ces nouvelles variables soient réelles. Cette succession des deux signes moins sera un invariant géométrique :

- Bon, ce que vous m'avez montré c'est que toutes les distances ne se calculent pas avec le théorème de Pythagore.

- Mais je peux vous faire remarquer une chose. L'angle q , tel que nous l'avons choisi représente ( p/2 - la latitude ). Imaginons que nous nous trouvions en un point de cette sphère S2.

- Nous serons à une certaine latitude( p/2 - qo ). C'est à dire dans une région où q est très voisin d'une valeur q_o

- Je pourrais considérer, pour des petits déplacements que sin q est à peu près constant.

- Et alors ma métrique deviendra, avec ces coordonnées locales, en première approximation :

- La métrique de l'espace 2d euclidien tangent, en un point de la sphère S2.

- Je sais que cette idée de tangence vous échappe, de même que cette idée de proximité entre deux espaces bidimensionnels. Mais vous savez quand même ce que c'est que la tangente à une courbe ?

- Disons que c'est voisin, analogues, mais avec une dimension de plus. Vous pouvez même envisager qu'il puisse y avoir des espaces tridimensionnels courbes et qu'en tout point on puisse définir un espace 3d tangent, euclidien, dont la métrique serait :

- At... tention ! N'allons pas trop vite en besogne. Ce que je veux vous dire c'est que quand vous évaluez par exemple une quantité d'air respirable, en calculant une aire qui représente à l'intérieur d'un carré ou d'un cercle , tout cela en en utilisant la métrique euclidienne, c'est à dire le théorème de Pythagore, vous calculez un aire approchée en négligeant la courbure ( voir l'album le Geometricon dans le site de Savoir sans Frontieres : http://www.savoir-sans-frontieres.com ) .

- Oui. Mais on verra cela plus loin, dans une autre conférence. De toute façon, à l'échelle de vos mesures locales le rayon de courbure est tellement grand que vous n'y voyez que du feu. L'erreur que vous faites en utilisant la formule euclidienne est infime. Ouvrez bien ce qui vous sert d'oreilles. Nous allons décider d'appeler espaces riemaniens des espaces où la longueur se calcule, de manière élémentaire, à l'aide d'une formule où figurent des puissances de deux des accroissements élémentaires des coordonnées ou des produits de deux accroissements élémentaires.

Le bidimensionnel qui avait lâché ça était étudiant en mathématiques. Il prit un air détaché, très content de son effet. Le conférencierapprouva et reprit :

- Nous décidonsdoncd'appeler ces espaces-là des espaces de Riemann. Mais il y en aura deux espèces. Ceux où la métrique contient les mêmes signes, positifs ou négatifs. On parlera alors de métrique elliptique. Et ceux où les signes diffèreront, qu'on appelera hyperboliques, dotés d'une métrique hyperbolique

- Qu'ils ne seront pas tous les mêmes. Il n'y aura pas "que des signes plus" ou "que des signes moins". Tenez, prenez un espace à 7 dimensions, Riemanien.Si la signature est :

- Mais, quand il n'y a que des signes moins cela voudrait dire que la longueur est imaginaire pure, si les variables sont prises dans des ensembles réels.

ds² = f₁ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₁² + f₂ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₂²+ f₃ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₃² + f₄ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₄² + f₅ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₅² + f₆ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₆² + f₇ ( x₁, x₂, ... , x₇ ) dx₇²

- Tout à fait. On reviendra plus tard sur cet aspect des choses. Je passe à une métrique hyperbolique. Ce pourrait être par exemple :

- Parmi ces espaces on en trouvera certains où, modulo un choix adéquat de cordonnées les fonctions f₁, f₂ , etc.... deviennent des constantes. On aura alors :

Ces espaces-là seront dits proprement euclidiens. Mais si on ne trouve que des signes moins :

- Maintenant, attachez-vous solidement, car le saut paradigmatique va être brutal, je vous préviens.

- Passons aux espaces bidimensionnels. Considérons un espace temps ( t , x ). Si cet espace est proprement euclidien, sa métrique sera :

Dotons-le maintenant doter un espace-temps 2d d'une métrique hyperbolique, en écrivant :

Ceci étant, j'avais enlevé une dimension d'espace pour vous inciter à penser à une représentation 2d d'un espace-temps ( t, x ). Mais comme nous n'allons plus pouvoir produire de représentations 2d on peut carrément revenir à l'espace-temps tridimensionnel ( t , x , y ). Passons donc à un espace pseudo-euclidien dont la signature est

- Ce truc, comme vous dire, c'est l'espace où vous habitez, mon cher, l'espace-temps où nous évoluons ensemble, au moment où je vous parle : l'espace-temps de de Minkowski. .

- C'est normal. Personne ne saurait voir à quoi ressemble un espace de Minkowski.

C'est encore pire : on dirait qu'on applique un théorème de Pythagore où le carré de l'hypothénuse serait égal à la différence des deux autres côtés !

- Cela voudrait dire que dans cet espace il pourrait exister des triangles rectangles ayant des hypothénuses de ... longueur nulle ! Bonjour l'angoisse.....

- Le voilà, votre saut paradigmatique. Si on veut s'aventurer dans l'univers de la Relativité Restreinte il faut abandonner tout espoir de manipuler des images mentales, sous peine de finir rapidement dans une hôpital psychiatrique. La Relativité Restreinte, c'est du lâcher prise complet.

- Il y a des choses que je comprends mieux, maintenant. J'ai un voisin physicien théoricien. Il passe son temps à faire des maths et ne sort pratiquement jamais de son carré. Parfois je me demande s'il sait que le monde extérieur existe.

- Je me pose la même question pour la physique théorique en général. Par exemple pour les gens qui font dans les supercordes ou dans les branes. Je me demande si après des années passées à s'occuper de cela un type est encore capable de tenir une raquette de ping-pong.

- C'est sûr que pour travailler dans ce domaine-là, être schizo, ça doit aider.

- Eh non, on peut les manipuler, voir comment ils "fonctionnent". Mais se les représenter, c'est exclu. Je veux maintenant faire une petite parenthèse en revenant à des espaces 2d "pensables", dotés de métriques elliptiques. Prenons d'abord l'espace 2d euclidien. Ce bon vieil espace où vous croyez vivre. On peut y tracer des droites, qui ne vont "ni à droite, ni à gauche".

- C'est la trajectoire qu'on suit avec sa voiture quand on bloque le volant dans l'axe.

- Et en prime c'est aussi le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre. On appelera ces trajets des géodésiques. Passons maintenant à la sphère S2. On peut aussi imaginer faire sur cette sphère des trajets " en n'allant ni à droit, ni à gauche".

- On cheminera alors sur des géodésiques de la sphère S2. Elles auront une propriété : celle de se refermer sur elles-mêmes.

- Oui, elle sont la topologie de la sphère S1, du cercle. Ce sont des courbes fermées. Plus généralement, dans tout espace défini par sa métrique il y a des géodésiques.

- En fait l'espace se confond avec l'entrelas des géodésiques qu'on peut y inscrire. Il est "tissé de géodésiques".

- Bien sûr. Tous les objets se déplacent selon des géodésiques. Vous avez déjà joué au billard ?

- Oui, ce jeu où on met des sphères S1 dans un rectangle et on tape dessus avec des segments.

- Entre deux collisions et deux rebonds sur les côtés du carré ces cercles se déplacent en ligne droite. Il suivent des géodésiques de l'espace.

- Imaginez que le cosmos soit une partie de billard dans un espace courbe. Vous n'avez qu'à remplacer les cercles par des particules. La seule nuance qu'il faut saisir est qu'il faut considérer non des géodésiques de l'espace 2d mais des géodésiques d'un espace-temps.

- Reprenons. Ce que nous voyons du monde, c'est l'espace, un espace 2d. Nous savons que nous vivons en fait dans un espace-temps tridimensionnel, la troisième dimension étant le temps. Jusqu'à Einstein nous avions imaginé que cet espace temps était euclidien. Mais ce bidimensionnel Allemand nous a montré que cet espace temps était en fait hyperbolique.

Le jeune bidimensionnel auteur de cette boutade fut incité à faire plus preuve d'attention et de sérieux par ses voisins et repartit au fond du carré, penaud.

- Je reprend. Nous sommes donc dans une configuration qui ressemble très fortement au mythe du carré, de Platon. Le véritable jeu de la physique se joue dans un espace-temps 3d hyperbolique, que nous pouvons pas concevoir, vu que le temps, nous le vivons. Ce que nous voyons ce sont les projections bidimensionnelles des géodésiques qui s'inscrivent dans cet espace 3d.

- C'est pour cela que nous percevons des trajectoires 2d de particules. Les véritables trajectoires sont sur des géodésiques 3d de l'espace temps qui, lui, nous échappe.

- Elle se réfère dans la mesure de la longueur parcourue. Prenez par exemple l'espace-temps de Minkowski, dont la métrique est:

- Imaginez une géodésique qui sépare deux "points évènements" de cet espace-temps, de coordonnées

- C'est le temps qui s'inscrit sur l'horloge de bord du " véhicule ", qui peut être une particule, par exemple.

- Le temps t c'est celui que vit un observateur immobile. Je peux faire apparaître la vitesse V :

On voit que Dt est plus petit ou égal à Dt. Le temps propre s'écoule plus lentement.

- Regardez la formule : Dt devient nul. Le temps propre gèle dans le chronomètre de bord.

- Je vois une chose : On dit que partir c'est mourir un peu. En fait c'est exactement l'inverse l'inverse. C'est en restant immobile qui'on vieillit le plus. Curieux...

- Que se passerai-t-il si on dépassait la vitesse de la lumière ? C'était bien le cas d'hypothétiques tachyons, non ?

- La formule ci-dessus indique que le temps propre deviendrait alors imaginaire pur. C'est à dire qu'on sortirait des limites de l'épure de la physique. On reviendra dans une autre conférence sur la signification géométrique liée à l'émergence de quantités imaginaires pures.

- Pourtant, ces photons, nous, on les voit passer. Enfin, pour nous ils vont d'un point à un autre en un temps non nul.

- Nous voyons la projection de leur trajectoire dans l'espace-temps ( t , x , y ) , dans notre espace ( x , y ). Leur temps propre ne s'écoule pas. Ce qui veut dire que l'espace-temps qui est le véritable espace du mouvement ils suivent des géodésiques de ... longueur égale à zéro.

L'assistance se tourna, interloquée vers le bidimensionnel qui avait lâché cette phrase. Il n'avait pas l'air bien du tout. On procéda à son évacuation avec beaucoup de sollicitude, tandis qu'un de ses collègue concluait en secouant la tête :

- Il y a des niveaux de réflexion où le cerveau devrait être équipé d'un fusible.

La semaine suivante, le groupe avait à peu près digéré le saut paradigmatique. Evidemment, c'était beaucoup en très peu de temps. En quelques heures les bidimensionnels avaient du envisager, non seulement que la façon dont ils devaient penser l'espace ne pouvait être inclue dans les deux dimensions auxquels ils pensaient avoir accès, grâce à leur sens de la vue, mais que de plus ce nouvel espace 3d, un espace-temps tridimensionnel ( t , x , y ) avait une structure géométrique si déconcertantes qu'il n'était même pas la peine de songer à se l'imaginer. Il était peuplé de géodésiques, de trajets "où on n'allait ni à droite, ni à gauche", certes. Cela, ils pouvaient à la limite le concevoir. Le conférencier leur avait expliqué que cet espace-temps, qui ressemblait à l'extérieur de la boite du père Platon était également tissé de géodésiques. Là encore, l'assistance était prête à l'admettre, comme le fait que ces courbes inscrites dans cet espace 3d pouvaient se projeter dans le monde 2d en donnant des trajets 2d. Chacun pouvait à la limite imaginer que dans chacun de ces mondes, 3d et 2d, en suivant une courbe-trajet et sa projection, les longueurs mesurées pouvaient être différentes. Mais delà à admettre que certains trajets, en l'occurence ceux des photons, pouvaient se projeter en 2d selon des " géodésiques de longueur non nulle ", alors que leur image, dans le monde 3d correspondait à des géodésiques de longueur nulle, ça c'était un peu trop demander. Le conférencier commença par dresser le bilan des séances précédentes, et termina en disant :

- Voyez, ce qui est très pénible à faire, je le concède, c'estd'abandonner votre sens commun, l'idée que vous vous faites de l'univers à partir de ce que vous délivrent vos organes de perception, à commencer par vos deux yeux. Nous, les bidimenseionnels possédons deux yeux. Chacun nous donne une information sous la forme d'un angle pour chaque oeil. En combinant les angles de visée de nos deux yeux et la distance qui sépare les sépare nous pouvons faire des évaluations de distances. Au-delà, la façon dont nous concevons le monde repose surdes hypothèses. Au départ, notre appréciation de l'espace est tactile. Mais les limitesde celle-cisont vite atteintes : ce sont celles de l'envergure de nos bras. L'appréciation des distances par le parallaxe, à l'aide de la vision binoculaire prend le relai. Mais on peut avoir une idée de la distance avec un oeil unique, en se déplaçant. Nos télescopes représentent cet oeil unique.

- Il se déplace tout seul, mon ami, avec la Terre. Celle-ci se déplace sur une courbe fermée, autour du Soleil. Dans les fait une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. Cette elllipse a une faible excentricité et nous l'assimilerons à un cercle. Ainsi, si on pointe un télescope vers une étoile du ciel, une étoile proche, avec un téléscope, en deux endroit de la trajectoire terrestres, occupés par la Terre en deux instants séparés par un intervalle de six mois, donc diamètralement opposés, on fera ce que fait un borgne lors qu'il déplace sa tête pour apprécier la distance d'un objet.

- Autrement dit, le diamètre de l'orbite terrestre remplace la distance qui sépare les deux pupilles de nos yeux.

- Tout à fait. Ceci fut employé pour la première fois par l'Allemand Bessel, qui put effectuer ainsi les premières mesures de distance d'étoiles relativement proches, en appliquant cette méthode du parallaxe.

Certains bidimensionnels semblaient quelque peu déconccertés. Le conférencier précisa :

- L'effet de parallaxe : c'est très simple. Observez un objet proche avec l'oeil droit, en fermant l'oeil gauche, puis avec l'oeil gauche en fermant l'oeil droit. L'objet proche n'occupera pas la même position vis à vis de l'arrière plan. En fait notre système de vision envoie les deux images simultanément au cerveau, qui décode ainsi ce que lui envoie notre télémètre corporel. Mais on peut aussi évaluer une distance en comparant deux images "oeil droit" et "oeil gauche".

Les bidimensionnels s'exercèrent à cette activité et des visages s'illuminèrent, démontrant qu'ils avaient compris.

- Cette technique à ses limites. Au delà d'une dizaine de mètres l'évaluation perd de sa précision. A cent mètres vous êtes incapables de comparer les distances de deux objets et d'affirmer avec certitude que l'un est devantet l'autre derrière. Au-delà, l'appréciation